matematicas

Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática³ a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

donde el símbolo ± indica que los valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

constituyen las dos soluciones.

[editar]Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

$\Delta = b^2 - 4ac.\,$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real demultiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

[editar]Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en $x^n\,$ es de la forma:

$ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,$

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

[editar]Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:^{[cita requerida]}

1. Completa. Es la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejosconjugados, según el valor del discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

$ax^2 + c = 0 \,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

$ax^2 = 0 \,$

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

$ax^2 + bx = 0 \,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x₁ = 0. En números imaginarios no hay solución.

[editar]Deducción para resolver la ecuación de la forma $a x^2+bx+c = 0$

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

$ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m = \frac{b}{a}$ y $n = \frac{c}{a}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue: